有界な数列は少なくとも一つの収束する部分列を持つ。すなわち関数でいうと上に有界ならば上界に上限を持つってやつね。有開閉区間で関数が連続ならば最大値、最小値を必ず持つことを証明する時にこの定理とカントールの区間縮小方を用いて上限が存在しそれ…

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,x′∈D |x−x′|<δ ⇒ |f(x)−f(x′)|<ε

関数が閉区間連続→一様連続→微小区間面積を表す関数列が一様収束→積分と極限操作の交換が可能→上積分と下積分が一致→リーマン積分可能