俺の数学ブログ

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項別積分

一般の連続関数は閉区間で一様収束であるので級数積分の順次交換が可能で、以下の項別積分の定理が成り立つ。

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ボルツァノワイエルシュトラウスの定理

有界な数列は少なくとも一つの収束する部分列を持つ。すなわち関数でいうと上に有界ならば上界に上限を持つってやつね。有開閉区間で関数が連続ならば最大値、最小値を必ず持つことを証明する時にこの定理とカントール区間縮小方を用いて上限が存在しそれが最大値となることを示すんよ。ちなみに下限も同じように証明できる。関数が閉区間連続ならば、最大値、最小値が必ず存在するっていうのは当たり前やけどこれは公理ではなく、ペアノの公理と実数のデデキント切断によって得られる実数の稠密性を用いることによって得られる定理なんだよね。

一様連続、一様収束について

関数が閉区間連続→一様連続→微小区間面積を表す関数列が一様収束→積分と極限操作の交換が可能→上積分と下積分が一致→リーマン積分可能